Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения

Математическое описание непрерывных случайных величин (к числу которых относится и ), осуществляется обычно при помощи законов рассредотачивания случайной величины. Эти законы определяют связь меж вероятным значением случайной величины и соответственной ему плотности вероятности.

Более всераспространенным при измерениях является обычный закон рассредотачивания (рис. 1.9). Он наблюдается, когда расхождения результатов обоснованы огромным числом независящих обстоятельств Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения и ни одна из их не доминирует над остальными. На рис. 1.10, а показана кривая обычного рассредотачивания для некой измеряемой величины Х. По оси абсцисс отложены значения величины Х, а по оси ординат – возможность их возникновения р(Х). Кривая обычного рассредотачивания симметрична полосы, проходящей через центр рассредотачивания M Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения[Х] (математическое ожидание), и имеет колоколообразную форму. Рассеяние результатов отдельных измерений относительно центра рассредотачивания характеризуется средним квадратическим отклонением s. Математическое ожидание M[Х] является тем значением величины, вокруг которого группируются результаты отдельных измерений. s является мерой рассеяния результатов относительно M[Х], т.е. охарактеризовывает форму кривой рассредотачивания.

а б Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения

Рис. 1.10. Кривые обычного рассредотачивания: а – случайной величины Х, б – случайной погрешности

Перенеся начало координат в точку M[Х], получим кривую рассредотачивания случайной погрешности (рис. 1.10, б).

На рис. 1.11 приведены кривые обычного рассредотачивания при разных значениях s (рассеяния результатов). Сравнивая их меж собой, можно установить, что рассеяние для кривой 2 меньше, чем для Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения кривой 3, но больше, чем для кривой 1. Разумеется, что более высочайшая сходимость наблюдается для результатов измерений, распределенных в согласовании с кривой 1.

Рис. 1.11. Кривые обычного рассредотачивания с различным рассеянием значения величины, s1 < s2 < s3

Математическое выражение для описания кривой обычного рассредотачивания случайной величины (рис. 1.10, а), предложенное Гауссом, имеет вид

Для описания кривой обычного Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения рассредотачивания случайной погрешности (рис. 1.10, б) это выражение можно переписать в виде

M[Х] и s являются 2-мя важными параметрами обычного рассредотачивания случайной величины. Довольно знать эти характеристики, чтоб задать обычное рассредотачивание.

Правило 3-х сигм

Свойственное свойство обычного рассредотачивания заключается в том, что в интервале [M[Х] ± 1s] находится около 68 % из Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения всех его результатов измерений. В интервале [M[Х] ± 2s] - 95 %. В интервале [M[Х] ± 3s] - 99,73 % (рис. 1.12). Как следует, практически все результаты измерений лежат в интервале 6s (по три s в каждую сторону от M[Х]). За пределами этого интервала могут находится 0,27 % данных от их общего числа (примерно три из Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения тыщи результатов измерений).

Рис. 1.12. Иллюстрация правила 3-х сигм

Отсюда следует, что если какое-либо значение величины выходит за границы ±3s, то с большой вероятностью его можно считать неверным.

На основании этого сформулировано правило 3-х сигм: если при неоднократных измерениях (n > 25…30) одной и той же величины неизменного размера непонятный итог Хсомн отдельного измерения Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения (наибольший либо малый) отличается от среднего значения более чем на 3s, то с вероятностью 99,7 % он ошибочен, т.е.

если > 3s,

то Хсомн является промахом; его отбрасывают и не учитывают при предстоящей обработке результатов измерений.

Закон обычного рассредотачивания работает при числе результатов измерений n = ¥. В действительности получают Нормальный закон распределения случайной величины. Параметры нормального распределения конечное число измерений, которые подчиняются закону рассредотачивания Стьюдента. При n>25 рассредотачивание Стьюдента стремится к нормальному.


normativi-obespechennosti-sredstvami-preduprezhdeniya-i-tusheniya-lesnih-pozharov-lic-ispolzuyushih-lesa.html
normativi-po-obshefizicheskim-i-sluzhebno-prikladnim-uprazhneniyam.html
normativi-psihomotornogo-razvitiya-detej-pervogo-goda-zhizni.html